izamorfix.ru
Основные понятия Счёт, единица и число Натуральные числа Натуральные числа и нуль Арифметические действия Сложение Свойства сложения Сложение столбиком Таблица сложения Изменение суммы Вычитание Изменение разности Умножение Таблица умножения Изменение произведения Изменение частного Кратное и делитель Сравнение Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Наименьшее общее кратное Порядок действий Дробные числа Обыкновенные дроби Числитель и знаменатель Правильные и неправильные дроби Основное свойство дроби Сравнение обыкновенных дробей Смешанные числа Сложение десятичных дробей

Сравнение натуральных чисел

Сравнить два числа – это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое – меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 – равные, а 63 и 67 – неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=,   >   и   <

При записи сравнения эти знаки располагают между числами.

Первый знак (=) называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется. Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.

Пример.

4 = 4 – равенство.

2 + 3 = 5 – равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 – равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 – верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 – неверное равенство).

Два других знака (> и <) называются знаками неравенства и означают: знак > – больше, а знак < – меньше. Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b < a и говорят: b меньше a. Знаки > и < должны быть обращены остриём к меньшему числу.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или < называется неравенством.

Пример.

5 > 4 – неравенство.

2 < 7 – неравенство.

2 + 3 < 7 – неравенство (подобные записи представляют собой неравенство двух числовых выражений, и означают неравенство значений этих выражений).

Неравенства могут быть как верными (например, 2 < 9 – верное неравенство), так и неверными (например, 5 > 8 – неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками > и <, которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки и . Знак читается больше или равно, знак меньше или равно. Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 – верное неравенство.

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак . Знак читается не равно. Например, запись a ≠ b – означает a не равно b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками >, <, и .

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая – в дательном.

Пример. 7 = 7 – семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая – в родительном.

Пример. 11 > 9 – одинадцать больше девяти, 3 < 5 – три меньше пяти.

Правила сравнения чисел

Числа можно сравнивать двумя способами: с помощью натурального ряда и по их десятичной записи.

Правило сравнения с помощью натурального ряда:

Из двух натуральных чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше (т. е. находится левее), и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже (т. е. находится правее).

Следовательно, в натуральном ряде каждое число, кроме 1, больше предыдущего.

Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 1 меньше числа 3 (1 < 3), так как в натуральном ряду число 1 находится левее числа 3. Число 7 больше числа 4 (7 > 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи, сравниваемых чисел, состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

4026
4019

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи, сравниваемых чисел, разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

347 503
34 503

Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.

Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.

Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

38 526 734
38 526 734

Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.

Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.

Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что 4 < 7, а 7 < 16. Эти два неравенства удобнее представить в виде двойного неравенства: 4 < 7 < 16.

Двойные неравенства принято читать с середины. Например, неравенство 2 < 4 < 5 читается так: четыре больше двух, но меньше пяти.

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.

Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 < 34, 8 < 11 и 34 > 8, которые можно записать как двойное неравенство 8 < 11 < 34.

Аналогичным образом строятся тройные, четверные и т. д. неравенства.

Пример. Известно, что 12 < 15, 47 > 15, 47 < 112, тогда можно записать 12 < 15 < 47 < 112.