izamorfix.ru
Введение Счёт, единица и число Устная нумерация Письменная нумерация Натуральные числа Количественный и порядковый счёт Разряды и классы Разрядные слагаемые Числовые и буквенные выражения Сравнение Арифметические действия Определение и знаки Действия первой и второй ступени Порядок действий Проценты Увеличение числа Уменьшение числа Сложение Слагаемые и сумма Сложение и вычитание с нулём Законы сложения Группировка слагаемых Округление при сложении Изменение суммы Прибавление суммы к числу и числа к сумме Сложение столбиком Нахождение неизвестного слагаемого Подобные слагаемые Таблица сложения Вычитание Уменьшаемое, вычитаемое и разность Вычитание столбиком Вычитание числа из суммы Вычитание суммы из числа Округление при вычитании Изменение разности Умножение Множимое, множитель и произведение Умножение на единицу и на ноль Законы умножения Умножение суммы на число Умножение числа на сумму Умножение числа на произведение Умножение двузначного числа на однозначное Изменение произведения Умножение столбиком Степень числа Таблица умножения Деление Делимое, делитель и частное Деление двузначного числа на однозначное Деление с остатком Свойства деления Признаки делимости Свойства делимости Изменение частного Деление столбиком Среднее арифметическое Делимость чисел Кратное и делитель Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Нахождение всех делителей числа Наибольший общий делитель Как найти НОД Наименьшее общее кратное Меры и величины Измерение величин Единицы измерения Сложение и вычитание величин Обыкновенные дроби Обыкновенные дроби Числитель и знаменатель Правильные и неправильные дроби Основное свойство дроби Сокращение дробей Общий знаменатель Сравнение дробей Сложение Вычитание Умножение и деление Возведение в степень Взаимно обратные числа Смешанные числа Смешанные числа Перевод неправильной дроби в смешанное число Перевод смешанного числа в дробь Сравнение Сложение Вычитание Умножение и деление Возведение в степень Десятичные дроби Десятичные дроби Перевод дробей Сравнение Свойство Сложение десятичных дробей Перенос запятой Умножение и деление Округление чисел Отношения и пропорции Отношение чисел Пропорции Задачи и задания Системы счисления Определение Десятичная система Римская система Перевод из одной системы в другую Двоичная арифметика Решение задач На разностное сравнение На сложение и вычитание На умножение и деление На приведение к единице На кратное сравнение На части На уравнивание На дроби На совместную работу На цену, количество и стоимость На скорость, время и расстояние На нахождение по двум суммам неизвестного На нахождение по двум разностям неизвестного На встречное движение На противоположное движение На одно направление На движение по реке Приложение Таблица простых чисел Латинский алфавит Онлайн калькуляторы

Изменение произведения с изменением сомножителей

Увеличение сомножителей

Если увеличить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

В общем виде: если записать произведение в виде равенства

a · b = c,

то изложенное свойство произведения можно записать так:

(a · m) · b = c · m

или

a · (b · m) = c · m.

Пример. Возьмём произведение двух чисел:  5 · 3 = 15  и проследим, как оно изменится при увеличении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если увеличить множитель, например, в  2  раза, то получится:

5 · (3 · 2) = 5 · 6 = 30.

Новое произведение оказалось больше прежнего в  2  раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма трёх слагаемых:

5 + 5 + 5,

а новое произведение — сумма  6  таких же слагаемых:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Пользуясь сочетательным законом сложения, мы можем в последней сумме каждые три слагаемых соединить в одну группу:

(5 + 5 + 5) + (5 + 5 + 5),

и тогда станет ясно, что новое произведение равно сумме двух чисел, из которых каждое равно прежнему произведению, т. е. новое произведение больше прежнего в  2  раза.

Следовательно, когда какой-либо сомножитель увеличивается в несколько раз, то и произведение увеличивается во столько же раз, во сколько был увеличен сомножитель.

Уменьшение сомножителей

Если уменьшить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

В общем виде: если

a · b = c,

то

(a : m) · b = c : m

или

a · (b : m) = c : m.

Пример. Возьмём произведение двух чисел:  20 · 2 = 40  и проследим, как оно изменится при уменьшении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если уменьшить множимое, например, в  2  раза, то получится:

(20 : 2) · 2 = 10 · 2 = 20.

Новое произведение оказалось меньше прежнего в  2  раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма двух слагаемых:

20 + 20,

а новое произведение — сумма  2  других слагаемых, в два раза меньше прежних:

10 + 10.

Если в  2  раза уменьшить множитель, то получится:

20 · (2 : 2) = 20 · 1 = 20.

Следовательно, когда какой-либо сомножитель уменьшается в несколько раз, то и произведение уменьшается во столько же раз, во сколько был уменьшен сомножитель.

Увеличение и уменьшение

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.

В общем виде: если

a · b = c,

то

(a · m) · (b : m) = c

или

(a : m) · (b · m) = c.

Пример. Возьмём произведение двух чисел:  12 · 4 = 48  и проследим, что с ним станет, если мы один сомножитель увеличим в несколько раз, а другой — уменьшим, во столько же раз. Так, если множимое увеличить в  2  раза, а множитель уменьшить в  2  раза, то получится:

(12 · 2) · (4 : 2) = 24 · 2 = 48.

Произведение не изменилось, потому что от увеличения одного сомножителя оно увеличилось в два раза, а от уменьшения другого сомножителя оно уменьшилось во столько же раз.

Следовательно, если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.