izamorfix.ru
Основные понятия Счёт, единица и число Натуральные числа Натуральные числа и нуль Арифметические действия Сложение Свойства сложения Сложение столбиком Таблица сложения Изменение суммы Вычитание Изменение разности Умножение Таблица умножения Изменение произведения Изменение частного Кратное и делитель Сравнение Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Наименьшее общее кратное Порядок действий Дробные числа Обыкновенные дроби Числитель и знаменатель Правильные и неправильные дроби Основное свойство дроби Сравнение обыкновенных дробей Смешанные числа Сложение десятичных дробей

Изменение произведения с изменением сомножителей

Увеличение сомножителей

Если увеличить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

В общем виде: если записать произведение в виде равенства

a · b = c,

то изложенное свойство произведения можно записать так:

(a · m) · b = c · m
или
a · (b · m) = c · m

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 5 · 3 = 15 и проследим, как оно изменится при увеличении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если увеличить множитель, например, в 2 раза, то получится:

5 · (3 · 2) = 5 · 6 = 30

Новое произведение оказалось больше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма трёх слагаемых:

5 + 5 + 5,

а новое произведение – сумма 6 таких же слагаемых:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Пользуясь сочетательным законом сложения, мы можем в последней сумме каждые три слагаемых соединить в одну группу:

(5 + 5 + 5) + (5 + 5 + 5),

и тогда станет ясно, что новое произведение равно сумме двух чисел, из которых каждое равно прежнему произведению, т. е. новое произведение больше прежнего в 2 раза.

Следовательно, когда какой-либо сомножитель увеличивается в несколько раз, то и прозведение увеличивается во столько же раз, во сколько был увеличен сомножитель.

Уменьшение сомножителей

Если уменьшить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

В общем виде: если

a · b = c,

то

(a : m) · b = c : m
или
a · (b : m) = c : m

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 20 · 2 = 40 и проследим, как оно изменится при уменьшении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если уменьшить множимое, например, в 2 раза, то получится:

(20 : 2) · 2 = 10 · 2 = 20

Новое произведение оказалось меньше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма двух слагаемых:

20 + 20,

а новое произведение – сумма 2 других слагаемых, в два раза меньше прежних:

10 + 10.

Если в 2 раза уменьшить множитель, то получится:

20 · (2 : 2) = 20 · 1 = 20

Следовательно, когда какой-либо сомножитель уменьшается в несколько раз, то и прозведение уменьшается во столько же раз, во сколько был уменьшен сомножитель.

Увеличение и уменьшение

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.

В общем виде: если

a · b = c,

то

(a · m) · (b : m) = c
или
(a : m) · (b · m) = c

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 12 · 4 = 48 и проследим, что с ним станет, если мы один сомножитель увеличим в несколько раз, а другой – уменьшим, во столько же раз. Так, если множимое увеличить в 2 раза, а множитель уменьшить в 2 раза, то получится:

(12 · 2) · (4 : 2) = 24 · 2 = 48

Произведение не изменилось, потому что от увеличения одного сомножителя оно увеличилось в два раза, а от уменьшения другого сомножителя оно уменьшилось во столько же раз.

Следовательно, если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.