Изменение произведения с изменением сомножителей
Увеличение сомножителей
Если увеличить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.
В общем виде: если записать произведение в виде равенства
a · b = c,
то изложенное свойство произведения можно записать так:
(a · m) · b = c · m
или
a · (b · m) = c · m.
Пример. Возьмём произведение двух чисел: 5 · 3 = 15 и проследим, как оно изменится при увеличении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если увеличить множитель, например, в 2 раза, то получится:
5 · (3 · 2) = 5 · 6 = 30.
Новое произведение оказалось больше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма трёх слагаемых:
5 + 5 + 5,
а новое произведение — сумма 6 таких же слагаемых:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.
Пользуясь сочетательным законом сложения, мы можем в последней сумме каждые три слагаемых соединить в одну группу:
(5 + 5 + 5) + (5 + 5 + 5),
и тогда станет ясно, что новое произведение равно сумме двух чисел, из которых каждое равно прежнему произведению, т. е. новое произведение больше прежнего в 2 раза.
Следовательно, когда какой-либо сомножитель увеличивается в несколько раз, то и произведение увеличивается во столько же раз, во сколько был увеличен сомножитель.
Уменьшение сомножителей
Если уменьшить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.
В общем виде: если
a · b = c,
то
(a : m) · b = c : m
или
a · (b : m) = c : m.
Пример. Возьмём произведение двух чисел: 20 · 2 = 40 и проследим, как оно изменится при уменьшении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если уменьшить множимое, например, в 2 раза, то получится:
(20 : 2) · 2 = 10 · 2 = 20.
Новое произведение оказалось меньше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма двух слагаемых:
20 + 20,
а новое произведение — сумма 2 других слагаемых, в два раза меньше прежних:
10 + 10.
Если в 2 раза уменьшить множитель, то получится:
20 · (2 : 2) = 20 · 1 = 20.
Следовательно, когда какой-либо сомножитель уменьшается в несколько раз, то и произведение уменьшается во столько же раз, во сколько был уменьшен сомножитель.
Увеличение и уменьшение
Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.
В общем виде: если
a · b = c,
то
(a · m) · (b : m) = c
или
(a : m) · (b · m) = c.
Пример. Возьмём произведение двух чисел: 12 · 4 = 48 и проследим, что с ним станет, если мы один сомножитель увеличим в несколько раз, а другой — уменьшим, во столько же раз. Так, если множимое увеличить в 2 раза, а множитель уменьшить в 2 раза, то получится:
(12 · 2) · (4 : 2) = 24 · 2 = 48.
Произведение не изменилось, потому что от увеличения одного сомножителя оно увеличилось в два раза, а от уменьшения другого сомножителя оно уменьшилось во столько же раз.
Следовательно, если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.