izamorfix.ru
Введение Счёт, единица и число Устная нумерация Письменная нумерация Натуральные числа Количественный и порядковый счёт Разряды и классы Разрядные слагаемые Числовые и буквенные выражения Сравнение Арифметические действия Определение и знаки Действия первой и второй ступени Порядок действий Проценты Увеличение числа Уменьшение числа Сложение Слагаемые и сумма Сложение и вычитание с нулём Законы сложения Группировка слагаемых Округление при сложении Изменение суммы Прибавление суммы к числу и числа к сумме Сложение столбиком Нахождение неизвестного слагаемого Подобные слагаемые Таблица сложения Вычитание Уменьшаемое, вычитаемое и разность Вычитание столбиком Вычитание числа из суммы Вычитание суммы из числа Округление при вычитании Изменение разности Умножение Множимое, множитель и произведение Умножение на единицу и на ноль Законы умножения Умножение суммы на число Умножение числа на сумму Умножение числа на произведение Умножение двузначного числа на однозначное Изменение произведения Умножение столбиком Степень числа Таблица умножения Деление Делимое, делитель и частное Деление двузначного числа на однозначное Деление с остатком Свойства деления Признаки делимости Свойства делимости Изменение частного Деление столбиком Среднее арифметическое Делимость чисел Кратное и делитель Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Нахождение всех делителей числа Наибольший общий делитель Как найти НОД Наименьшее общее кратное Меры и величины Измерение величин Единицы измерения Сложение и вычитание величин Обыкновенные дроби Обыкновенные дроби Числитель и знаменатель Правильные и неправильные дроби Основное свойство дроби Сокращение дробей Общий знаменатель Сравнение дробей Сложение Вычитание Умножение и деление Возведение в степень Взаимно обратные числа Смешанные числа Смешанные числа Перевод неправильной дроби в смешанное число Перевод смешанного числа в дробь Сравнение Сложение Вычитание Умножение и деление Возведение в степень Десятичные дроби Десятичные дроби Перевод дробей Сравнение Свойство Сложение десятичных дробей Перенос запятой Умножение и деление Округление чисел Отношения и пропорции Отношение чисел Пропорции Задачи и задания Системы счисления Определение Десятичная система Римская система Перевод из одной системы в другую Двоичная арифметика Решение задач На разностное сравнение На сложение и вычитание На умножение и деление На приведение к единице На кратное сравнение На части На уравнивание На дроби На совместную работу На цену, количество и стоимость На скорость, время и расстояние На нахождение по двум суммам неизвестного На нахождение по двум разностям неизвестного На встречное движение На противоположное движение На одно направление На движение по реке Приложение Таблица простых чисел Латинский алфавит Онлайн калькуляторы

Изменение частного с изменением делимого и делителя

Увеличение или уменьшение делимого

Если увеличить (или уменьшить) делимое в несколько раз, то частное увеличится (или уменьшится) во столько же раз.

В общем виде: если записать частное в виде равенства

a : b = c,

то изложенное свойство частного можно записать так:

(a · m) : b = c · m

и

(a : m) : b = c : m.

Пример. Возьмём частное двух чисел:  12 : 3 = 4  и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делимого в несколько раз. Так, если увеличить делимое, например, в  2  раза, то получится:

(12 · 2) : 3 = 24 : 3 = 8.

Новое частное оказалось больше прежнего в  2  раза. Так оно и должно быть, потому что, если  3  в  12  содержится  4  раза, то  3  в сумме  12 + 12  очевидно содержится  8  раз, т. е. в  2  раза больше, чем оно содержится в  12.

Если уменьшить делимое, например, в  2  раза, то получится:

(12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2.

Новое частное оказалось меньше прежнего в  2  раза, потому что, если  3  в  12  содержится  4  раза, то  3  в  6  содержится  2  раза, т. е. в  2  раза меньше, чем оно содержится в  12.

Следовательно, если увеличить или уменьшить делимое в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.

Увеличение или уменьшение делителя

Если увеличить (или уменьшить) делитель в несколько раз, то частное уменьшится (или увеличится) во столько же раз.

В общем виде: если

a : b = c,

то

a : (b · m) = c : m

и

a : (b : m) = c · m.

Пример. Возьмём частное двух чисел:  24 : 6 = 4  и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делителя в несколько раз. Так, если увеличить делитель, например, в  2  раза, то получится:

24 : (6 · 2) = 24 : 12 = 2.

Новое частное оказалось меньше прежнего в  2  раза. Так оно и должно быть, потому что  12  есть произведение  6 · 2,  а чтобы разделить на произведение, можно разделить делимое на первый сомножитель (на  6)  и полученное число  (4)  разделить затем на второй сомножитель (на  2),  отчего оно уменьшится (в  2  раза).

Если уменьшить делитель, например, в  2  раза, то получится:

24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8.

Новое частное оказалось больше прежнего в  2  раза. Так как  6  в  24  содержится  4  раза, а  3  в два раза меньше  6,  то  3,  будучи меньше  6  в  2  раза, будет содержаться в  24  в  2  раза больше, т. е.  8  раз.

Следовательно, если увеличить или уменьшить делитель в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.

Предполагается, что деление совершается без остатка. Если же есть остаток, то частное может измениться иначе, чем было до этого указано.

Пример. Возьмём, например, такое деление:

23 : 5 = 4 (остаток 3),

и увеличим делимое в  3  раза. Получим:

69 : 5 = 13 (остаток 4);

по сравнению с делимым, частное увеличилось более, чем в  3  раза.

Основное свойство частного

Частное не изменится, если делимое и делитель одновременно умножить или разделить на одно и то же число.

Основное свойство частного в общем виде: если

a : b = c,

то

(a · m) : (b · m) = c

и

(a : m) : (b : m) = c.

Пример. Возьмём, например, такое деление:  60 : 15 = 4.  Если увеличить делимое и делитель в  5  раз, то получим:

(60 · 5) : (15 · 5) = 300 : 75 = 4.

Частное не изменилось, потому что от увеличения делимого частное увеличивается, а от увеличения делителя оно уменьшается во столько же раз.

Если уменьшить делимое и делитель в  5  раз, то получим:

(60 : 5) : (15 : 5) = 12 : 3 = 4.

Частное не изменилось, потому что от уменьшения делимого частное уменьшается, а от уменьшения делителя оно увеличивается во столько же раз.