izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь — это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.

Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:

a ,
b

где  a  и  b  — это многочлены и  b≠0.

Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:

(a + 3) : (a2 + 9) = a + 3 .
a2 + 9

Примеры алгебраических дробей:

a + 3;     7;     1 .
a2 + 9x2

Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:

a2 + 9 = a2 + 9;
1

15 = 15;
1

x2 + 2xy + y2x2 + 2xy + y2 .
1

Сокращение алгебраических дробей

Основное свойство алгебраической дроби:

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.

В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:

a = a · c      и      a = a : c
bb · cbb : c  ,

где  c≠0.

Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей — это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.

Пример 1. Сократить дробь:

ab2 + bc .
ab2

Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:

ab2 + bc = b(ab + с) = ab + с .
ab2b · abab

Пример 2. Упростить дробь:

3x(a + b) .
x2(b - a)

Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:

3x(a + b) = 3(a + b) .
x2(b - a)x(b - a)

Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:

a + b    и    b - a.

Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b - a знак на противоположный и переставить члены местами:

b - a = -(-b + a) = -(a - b).

Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:

3(a + b) = 3(a + b) = -3 .
x(b - a)-x(a + b)x

Пример 3. Сократите дробь:

24ab3c5 .
16a5b3c

Решение: Числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен — это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:

  • Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел  24  и  16  — это число  8.  После сокращения от  24  останется  3,  а от  16  —  2.
  • Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
    • a  и  a5  сокращаем на  a.  Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся  a4.
    • b3  и  b3  сокращаем на  b3,  единицы в результат не записываем.
    • c5  и  c  сокращаем на  c,  в числитель пишем  c4,  в знаменатель не пишем ничего.

Следовательно:

24ab3c5 = 3c4 .
16a5b3c2a4