izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число, отличное от нуля.

Числа, составляющие прогрессию, называются её членами. Число, на которое следует умножить предыдущий член, чтобы получить последующий, называется знаменателем геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии может быть положительным или отрицательным.

Для определения знаменателя данной геометрической прогрессии надо последующий член разделить на предыдущий (например, второй член разделить на первый).

Геометрическую прогрессию можно определить и так: числовая последовательность  a1a2a3, ..., an, ...  называется геометрической прогрессией, если для любого  n

an+1 = an · q,

где  q  — знаменатель прогрессии,  n  — порядковый номер члена.

Прогрессия называется возрастающей, если модуль числа  |q| > 1,  и убывающей, если  |q| < 1.

Примеры:

5,  15,  45,  135  — возрастающая прогрессия со знаменателем  3;

4,  -2,  1,  -0,5  — убывающая прогрессия со знаменателем  -0,5.

Формула n-го члена

Если знаменатель прогрессии  a1a2a3, ...  равен  q,  то по определению геометрической прогрессии

a2 = a1 · q;

a3 = a2 · q = (a1 · q) · q = a1 · q2;

a4 = a3 · q = (a1 · q2) · q = a1 · q3;

и так далее. Значит при  n > 1

an = a1 · qn-1

n-ый член геометрической прогрессии равен произведению её первого члена на знаменатель прогрессии в степени  n-1.

Данная формула называется формулой общего члена геометрической прогрессии. Например, для прогрессии

1,  2,  4,  8,  16,  ...

a1 = 1,    q = 2.

Следовательно,

a10 = a1 · q9 = 1 · 29 = 512.