izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Умножение и деление степеней

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2.

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 
3 множ.2 множ.

 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25.
5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y.

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5.

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8.

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6.

Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6).

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9.

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9.

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5;

б) xxn;

в) amam.

Решение:

а) nxn5 = nx + 5;

б) xxn = xn + 1;

в) amam = am + m = a2m.

Пример 4. Упростите выражение:

а) -a2 · (-a)2 · a;

б) -(-a)2 · (-a) · a.

Решение:

а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5;

б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5,

где  n  — это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

n12 .
n5

Представим  n12  в виде произведения  n7 · n5.  Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель  n5:

n12 = n7 · n5 =  n7.
n5n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12.

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y.

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) a5;      б) m18 .
am10

Решение:

а) a5 = a4 · a = a4;
a a

б) m18 = m8 · m10 = m8.
m10 m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2;

б) n10 : n5;

в) a30 : a10.

Решение:

а) x7 : x2 = x7 - 2 = x5;

б) n10 : n5 = n10 - 5 = n5;

в) a30 : a10 = a30 - 10 = a20.

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8 .
a2mb3

Решение:

а) an = an - 2;
a2

б) mx = mx - 1;
m

в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10.
b3b3