izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Область значений функции Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Неравенства с одной переменной

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b     или     ax < b.

Где  x  — это переменнаяa  — коэффициент, а  b  — свободный член.

Если  a > 0,  то, разделив обе части неравенства на  a,  получим:

xb     или     xb .
aa

Данные неравенства и определяют все значения переменной  x,  при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

линейные неравенства с одной переменной

Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

если   x ⩾ b   , то   x ∈ [b; +∞)
aa

или

если   x ⩽ b   , то   x ∈ (-∞;b] .
aa

Если  a < 0,  то, разделив обе части неравенства

ax > b     или     ax < b

на  a  и поменяв в них знак на противоположный, получим:

xb     или     xb .
aa

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если  a = 0,  тогда неравенство примет вид:

0 · x > b     или     0 · x < b.

В первом случае:

0 · x > b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Во втором случае:

0 · x < b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Равносильные неравенства

Равносильные неравенства — это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:

  1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
  2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
  3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Решение неравенств

Решить неравенство с одной переменной — это значит, найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

Пример 1. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

-8x - 2 > 14.

Решение: Переносим  -2  в правую часть:

-8x > 14 + 2

-8x > 16

Делим обе части неравенства на  -8:

-8x : (-8) < 16 : (-8)

x < -2

Отмечаем множество значений  x  на координатной прямой:

решение неравенств с одной переменной

Ответ:  (-∞; -2).

Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

6(y + 12) ⩾ 3(y - 4).

Решение: Сначала раскрываем скобки:

6y + 72 ⩾ 3y - 12

Переносим 72 в правую часть, а  3y  в левую и делаем приведение подобных слагаемых:

6y - 3y ⩾ -12 - 72

3y ⩾ -84

Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):

(3y) : 3 ⩾ (- 84) : 3

y ⩾ -28

Отмечаем множество значений  y  на координатной прямой:

равносильные неравенства

Ответ:  [-28; +∞).