izamorfix.ru
Одночлены Степень одночлена

Одночлены

Одночлен – это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Пример. 12,  ,  m,  (-2)3,  a2,  5abc,  a3x,  3,7c(-2ab2) – одночлены.

Выражения  x + 2  или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы – буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Решение:

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c.
Числовой множитель: 5.
Буквенные множители: a, b, c.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена – это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

Пример. 7,  a,  -3xy2,  1abс – одночлены стандартного вида.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

12aa3b  и  4cb(−2)y,

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена – это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Пример. Одночлены

-7ab3,   Коэффициент одночлена,   -1x,   15

записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам  -7,  Коэффициент одночлена,  -1,  15.

Коэффициент одночлена, равный 1 или -1 обычно не пишут.

Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен +1 или -1, в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.

Пример. Одночлены

a,  -xy

записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен  1, второго  -1, так как

a = 1a,  -xy = -1xy

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым то буквенное выражение, перед которым он стоит.

Пример.

3ab = (ab) · 3 = ab + ab + ab

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене    коэффициент означает, что от  x2  берётся  , потому что  , а умножить на    значит взять    от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду – значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

  1. Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
  2. Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
  3. Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.

Пример. Запишите одночлен -2b(-3)x34ab2x2 в стандартном виде.

Решение:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a.

Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно 24. Произведение степеней b равно b · b2 = b3. Произведение степеней x равно x3 · x2 = x5:

24 · b3 · x5 · a.

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

24ab3x5

Следовательно:

-2b(-3)x34ab2x2 = ((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a = 24 · b3 · x5 · a = 24ab3x5

Пример. Представить одночлен -2a4c0b в стандартном виде.

Решение:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

-2a4c0b = 0