izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Область значений функции Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)  a + 3 + a - 3;
bb

б)  2b - 1 + b + 4 .
22

Решение: Складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)  a + 3 + a - 3 = (a + 3) + (a - 3) =
bbb

= a + 3 + a - 3 = 2a ;
bb


б)  2b - 1 + b + 4 = (2b - 1) + (b + 4) =
222

= 2b - 1 + b + 4 = 3b + 3 .
22

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)  x + 5 - 5x ;
33

б)  a + b - a + 4 .
a - 5a - 5

Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)  x + 5 - 5x = x + 5 - 5x = 5 - 4x ;
3333


б)  a + b - a + 4 = (a + b) - (a + 4) =
a - 5a - 5a - 5

= a + b - a - 4 = b - 4 .
a - 5a - 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a + b  =  a + b     и     a - b  =  a - b ,
cccccc

где  c≠0.

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

a = -a .
b-b

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на  -1.  Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a = -a = -a = --a .
b-b-bb

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

-a = -a = a .
bb-b

Пример 1. Найдите сумму дробей:

5a + 3a .
b - cc - b

Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a + 3a = 5a - 3a =
b - cc - bb - c-(c - b)

= 5a - 3a = 2a .
b - cb - cb - c

Пример 2. Найдите разность дробей:

n + 5 - 2n .
n2 - mm - n2

Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

n + 5 - 2n = n + 5 + 2n =
n2 - mm - n2n2 - m-(m - n2)

= n + 5 + 2n = 3n + 5 .
n2 - mn2 - mn2 - m

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:

Пример 1. Выполните сложение дробей:

2a + b .
a + ba - b

Решение: Находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(a - b).

Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(a - b) = 2a2 - 2ab;

b(a + b) = ab + b2.

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

2a + b = 2a2 - 2ab + ab + b2 =
a + ba - ba2 - b2a2 - b2

= 2a2 - 2ab + ab + b2 = 2a2 - ab + b2 .
a2 - b2a2 - b2

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

b - 2 .
a2 - aba - b

Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители:

a2 - ab = a(a - b).

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель  a:

2 · a = 2a.

Получаем:

b - 2 =
a2 - aba - b

= b - 2a = b - 2a .
a(a - b)a(a - b)a(a - b)

Пример 3. Выполните сложение:

x + x2
1 - x .

Решение: Запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю  1 - x:

x + x2 = x + x2 =
1 - x11 - x

= x(1 - x) + x2 = x - x2 + x2 .
1 - x1 - x1 - x1 - x

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

x - x2 + x2 = x - x2 + x2 = x .
1 - x1 - x1 - x1 - x

Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.