izamorfix.ru
Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида  ax = b,  где  x  — неизвестное,  a  и  b  — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число  a  называется коэффициентом при неизвестном, а число  b  — свободным членом.

Если в уравнении  ax = b  коэффициент не равен нулю  (a ≠ 0),  то, разделив обе части уравнения на  a,  получим  .  Значит, уравнение  ax = b,  в котором  a ≠ 0,  имеет единственный корень  уравнение с одним неизвестным.

Если в уравнении  ax = b  коэффициент равен нулю  (a = 0),  а свободный член не равен нулю  (b ≠ 0),  то уравнение не имеет корней, так как равенство  0x = b,  где  b ≠ 0,  не является верным ни при каком значении  x.

Если в уравнении  ax = b  и коэффициент, и свободный член равны нулю  (a = 0  и  b = 0),  то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство  0x = 0  верно при любом значении  x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

Пример 1. Решить уравнение

уравнение с 1 неизвестным

Решение:

  1. Освобождаем уравнение от дробных членов:

    4(5x - 7) - 24 = 3(3x + 12).

  2. Раскрываем скобки:

    20x - 28 - 24 = 9x + 36.

  3. Переносим члены:

    20x - 9x = 36 + 28 + 24.

  4. Выполняем приведение подобных членов:

    11x = 88.

  5. Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

    x = 8.

  6. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо  x  его значение:

    решение уравнений с одним неизвестным

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Ответ:  x = 8.

Пример 2. Решить уравнение

5(x - 2) = 45.

Решение:

  1. Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

    x - 2 = 9.

  2. Переносим члены:

    x = 9 + 2.

  3. Выполняем приведение подобных членов:

    x = 11.

  4. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо  x  его значение:
    5(11 - 2) = 45;
    5 · 9 = 45;
    45 = 45.

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

5(x - 2) = 45;
x - 2 = 9;
x = 9 + 2;
x = 11.

Ответ:  x = 11.