Введение Отличия алгебры от арифметики Множества Стандартный вид числа Числовая ось Координатная плоскость Числовые промежутки Расстояние между точками Греческий алфавит Алгебраические выражения Определение и виды Названия выражений Свойства сложения Свойства умножения Алгебраическая сумма Раскрытие скобок Равенство Тождество Целые числа Определение и сравнение Сложение и вычитание Умножение и деление Противоположные числа Рациональные числа Определение и сравнение Действия с рациональными числами Отрицательные дроби Модуль числа Степени и корни Умножение и деление степеней Свойства степени Первая и нулевая степень Отрицательная степень Корень из числа Таблица квадратных корней Извлечение корня Дробная степень Иррациональные выражения Одночлены и многочлены Одночлены Степень одночлена Сложение и вычитание одночленов Умножение одночленов Деление одночленов Многочлены Сложение и вычитание многочленов Умножение одночлена на многочлен Умножение многочлена на многочлен Квадрат суммы и разности, разность квадратов Вынесение общего множителя за скобки Разложение способом группировки Формулы сокращённого умножения Уравнения Уравнение и корни Преобразование Решение уравнений с одним неизвестным Степень уравнения Системы уравнений Квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения Теорема Виета Биквадратные уравнения Неравенства Описание и свойства Сложение и умножение С одной переменной Алгебраические дроби Сокращение Приведение к общему знаменателю Сложение и вычитание Умножение и деление Пропорциональность Прямая и обратная Пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Функции Определение Способы задания Графики функций Область значений функции Арифметическая прогрессия Определение и свойство Формула n-го члена Сумма членов Геометрическая прогрессия Логарифмы Описание и свойства Десятичные логарифмы Натуральные логарифмы

Область определения и область значений функции

Много явлений, происходящих в мире, связаны между собой некоторой зависимостью. Например, раскат грома раздаётся после удара молнии, каждый товар в магазине имеет свою цену, в 100 г. воды при температуре 20° С растворяется 35,9 г. поваренной соли и 38,1 г. при температуре 80° С.

Если взять последний пример с поваренной солью, то можно составить небольшую таблицу растворимости соли в 100 г. воды в зависимости от температуры:

Температура t (° C)	Масса соли m (г.)
20°	35,9 г.
80°	38,1 г.

Можно сказать, что в таблице каждому числу из столбца  t  ставится в соответствие число из столбца  m,  то есть, между этими числами образовалась зависимость (мы подставляем температуру воды — получаем массу соли в результате). В математике такая зависимость называется функцией.

Функция — одно из основных математических понятий, это тройка:

1. Множество чисел  X;
2. Закон  f  (правило), по которому происходят «манипуляции» над числами из множества  X;
3. Множество  Y:  после манипуляций числа из  Х  попадают в это множество.

Записывается это так:

f: X → Y

Или вот так:

y = f(x)

Рассмотрим в качестве примера функцию, которая называется квадратичной (возводит числа в квадрат):

y = x²

Разберемся со всеми тремя составляющими этой функции:

1. Множество чисел  X:  какие числа можно подставлять в функцию? По правилам математики, любое число можно возвести в квадрат, значит, любое число можно подставить вместо  x.
2. Словами суть закона можно описать так: возвести число в квадрат.
3. Множество чисел  Y:  какие числа можно получить в результате возведения числа в квадрат? Только положительные, потому что  (-х)² = х²,  таковы правила математики.

Если поочередно вместо  х  подставлять все возможные числа, то можно получить график функции  y = х²,  который называется параболой:

Конечно, множества  X  и  Y  имеют названия:

1. X  — область определения функции (те числа, которые можно подставлять в функцию вместо  х).
2. Y  — область значений функции (числа, которые «выдаёт» функция).

Для квадратичной функции:

1. X = (-∞, +∞)  (Что означает: «от минус бесконечности до плюс бесконечности».);
2. Y = [0, +∞)  (Что означает: «от нуля до плюс бесконечности». Квадратная скобка перед числом означает, что число тоже включается в промежуток, нуль является значением квадратичной функции.).

Итак, мы нашли область значений  y = х²  — это множество  Y = [0, +∞).

Для всех остальных математических функций область определения и область значений отыскиваются аналогичным принципом: необходимо руководствоваться элементарными математическими правилами.

Например, на нуль делить нельзя. Хорошим примером, где применяется это правило, служит функция  у = 1/х.  То есть, её множества:

1. X = (-∞, 0) U (0, +∞) (Все, кроме нуля. Круглая скобка выбрасывает число из множества.);
2. Y = (-∞, 0) U (0, +∞) (Функция  у = 1/х  ни при каком  х  не примет значение 0, зато при больших значениях  х  она будет бесконечно близко подходить к нулю, а при малых  х  она будет уходить в +∞.).