Введение Плоскость Сравнение геометрических фигур Геометрическая точка Периметр и площадь Линии Виды линий Прямая линия Луч Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Признаки и свойства параллельных прямых Отрезок Сумма и разность отрезков Ломаная линия Углы Угол Измерение углов Сравнение углов Виды углов Смежные и вертикальные углы Углы при пересечении двух прямых Треугольники Треугольник Виды треугольников Сумма углов Внешние углы Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Периметр и площадь Окружность и круг Окружность Касательная и секущая Касание окружностей Центральный угол Вписанный угол Круг Длина окружности Многоугольники Описание Сумма углов Четырёхугольники Описание и виды Прямоугольник Периметр квадрата, прямоугольника и ромба Площадь прямоугольника и квадрата Параллелограмм Трапеция

Вписанный угол окружности

• Теорема о вписанном угле
• Следствия из теоремы

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Угол  ABC  — вписанный угол.  ∠ABC  опирается на дугу  AC,  заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

∠ABC =	1	AC.
	2

Доказательство:

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Соединим точку  A  с центром круга (точкой  O).  Получим равнобедренный треугольник  AOB,  в котором  AO = OB,  как радиусы одной окружности. Следовательно,  ∠A = ∠B,  как углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как  ∠AOC  — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

∠AOC = ∠A + ∠B,

а так как углы  A  и  B  равны, то

∠B =	1	∠AOC.
	2

Но  ∠AOC — центральный угол, значит  ∠AOC = AC,  следовательно  ∠B  измеряется половиной дуги  AC:

∠ABC = ∠B =	1	AC.
	2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр  BD.  Угол  ABC  разбился на два угла:  ∠1  и  ∠2.

Точка  D  разделяет дугу  AC  на две дуги:  AD  и  DC.  По доказательству, рассмотренному в первом случае:

∠1 =	1	AD  и  ∠2 =	1	DC.
	2		2

Следовательно, весь угол  ABC  будет измеряться половиной дуги  AC:

∠1 + ∠2 =	1	AD  +	1	DC
	2		2

или

∠ABC =	1	AC.
	2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр  BD.

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD.

Но  ∠ABD  измеряется половиной дуги  AD , а  ∠CBD  измеряется половиной дуги  CD.  Следовательно,

∠ABC =	1	(AD - CD),
	2

то есть

∠ABC =	1	AC.
	2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит  180°,  значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит  90°.