izamorfix.ru
Плоскость Геометрическая точка Линия Прямая линия Отрезок Углы Угол Виды углов Смежные и вертикальные углы Треугольники Треугольник Виды треугольников Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Окружность и круг Окружность Центральный угол Вписанный угол Круг

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности – это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

вписанный угол

Угол  ABC  – вписанный угол.  ∠ABC  опирается на дугу  AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Теорема о вписанном угле

∠ABC1 AC
2

Доказательство:

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

теорема о вписанном угле доказательство

Соединим точку  A  с центром круга (точкой  O). Получим равнобедренный треугольник  AOB, в котором  AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно,  ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

дуга вписанного угла

Так как  ∠AOC  – внешний угол равнобедренного треугольника, то:

∠AOC = ∠A + ∠B,

а так как углы  A  и  B  равны, то

∠B1 ∠AOC.
2

Но  ∠AOC – центральный угол, значит  ∠AOC = AC, следовательно  ∠B  измеряется половиной дуги  AC:

∠ABC = ∠B1 AC
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр  BD. Угол  ABC  разбился на два угла: 1 и 2.

Точка  D  разделяет дугу  AC  на две дуги:  AD  и  DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 = 1 AD  и  2 = 1 DC
22

Следовательно, весь угол  ABC  будет измеряться половиной дуги  AC:

1 + 2 = 1 AD  +  1 DC
22

или

∠ABC1 AC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр  BD.

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD.

Но  ∠ABD  измеряется половиной дуги  AD , а  ∠CBD  измеряется половиной дуги  CD. Следовательно,

∠ABC1 (AD - CD),
2

то есть

∠ABC1 AC.
2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

следствие вписанного угла

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

следствие из теоремы о вписанном угле