izamorfix.ru
Плоскость Геометрическая точка Линия Прямая линия Отрезок Углы Угол Виды углов Смежные и вертикальные углы Треугольники Треугольник Виды треугольников Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Окружность и круг Окружность Центральный угол Вписанный угол Круг

Подобные треугольники

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны – это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых  ∠A = ∠A1,  ∠B = ∠B1,  ∠C = ∠C1:

подобные треугольники

Стороны  AB  и  A1B1,  BC  и  B1C1,  CA  и  C1A1, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB = BC = AC = k,
A1B1B1C1A1C1

k – это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если  k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком  ~:  ABC ~ A1B1C1.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами  S  и  S1, то:

S = k2.
S1

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Первый признак подобия треугольников

Если  ∠A = ∠A1,  ∠C = ∠C1,

то  ABC ~ A1B1C1.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если  AB = AC,  ∠A = ∠A1,
A1B1A1C1

то  ABC ~ A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если  AB = BC = AC,
A1B1B1C1A1C1

то  ABC ~ A1B1C1.