izamorfix.ru
Плоскость Геометрическая точка Линия Прямая линия Отрезок Углы Угол Виды углов Смежные и вертикальные углы Треугольники Треугольник Виды треугольников Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Окружность и круг Окружность Центральный угол Вписанный угол Круг

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:

 AB = A1B1,  AC = A1C1,  ∠A = ∠A1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Первый признак равенства треугольников

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1B1  совместилась со стороной  AB, то точка  B  совместится с точкой  B1 , так как  A1B1 = AB. Сторона  A1C1  совместится со стороной  AC , так как  ∠A = ∠A1. Точка  C1  совпадёт с точкой  C , так как  A1C1 = AC. Стороны  B1C1  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:

 AC = A1C1,  ∠A = ∠A1  и  ∠C = ∠C1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Второй признак равенства треугольников

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1C1  совместилась со стороной  AC, то точка  C1  совпадёт с точкой  C, так как  A1C1 = AC. Сторона  A1B1  совпадёт со стороной AB, так как  ∠A = ∠A1. Сторона  C1B1  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C1. Вершина  B1  совпадёт с вершиной  B, так как  B  и  B1  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:

AB = A1B1,  BC = B1C1,  AC = A1C1.

Третий признак равенства треугольников

Требуется доказать, что

теорема выражающая признак равенства треугольниковABC = A1B1C1.

Приложим треугольники  ABC  и  A1B1C1  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A1, вершина  C  – с  C1, а вершины  B  и  B1  оказались по разные стороны от прямой  AC.

сформулировать и доказать признак равенства треугольников

Соединив точки  B  и  B1, получим два равнобедренных треугольника  BAB1  и  BСB1.

три признака равенства треугольников

В треугольнике  BAB1  1 = 4, в  BСB1  2 = 3 (как углы при основании). Следовательно,

1 + 2 = 4 + 3, поэтому  ∠ABC = ∠AB1C.

Итак,  AB = A1B1,  BC = B1C1,  ∠ABC = ∠A1B1C1.

Из этого следует, что треугольники ABC  и  A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.