izamorfix.ru
Плоскость Геометрическая точка Линия Прямая линия Отрезок Углы Угол Виды углов Смежные и вертикальные углы Треугольники Треугольник Виды треугольников Признаки равенства Теорема Пифагора Подобные треугольники Окружность и круг Окружность Центральный угол Вписанный угол Круг

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если   ∠A = 90°, то   a2 + b2 = c2.

теорема Пифагора

Доказательство:

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c:

теорема Пифагора для треугольника

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b:

теорема Пифагора доказательство

Площадь данного квадрата S будет равна (a + b)2:

S = (a + b)2

С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов (ab : 2), и квадрата со стороной c, поэтому:

S = (a + b)2

или

S = 4 · (ab)  + c2 = 2ab + c2
2

Таким образом:

(a + b)2 = 2ab + c2

Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

то для того, чтобы наше равенство было верным  c2  должен быть равен  a2 + b2.

Таким образом,   (a + b)2 = 2ab + c2, где   c2 = a2 + b2.

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если   a2 + b2 = c2, то треугольник ABC – прямоугольный.

теорема Пифагора прямая и обратная

Доказательство:

Возьмём треугольник ABC со сторонами  a, b  и  c, у которого  c2 = a2 + b2. Докажем, что  ∠A = 90°:

теорема обратная теореме Пифагора 8 класс

Рассмотрим прямоугольный треугольник  A1B1C1  с прямым углом  A1, у которого   A1B1 = a   и   A1C1 = b:

доказать теорему обратную теореме Пифагора

По теореме Пифагора:

B1C12 = A1B12 + A1C12

Значит  B1C12 = a2 + b2. Но  a2 + b2 = c2 по условию теоремы. Следовательно  B1C12 = c2, откуда можно сделать вывод  B1C1 = c.

Треугольники  ABC  и  A1B1C1  равны по трём сторонам, поэтому  ∠A = ∠A1 = 90°, то есть треугольник  ABC  является прямоугольным. Теорема доказана.